,
somme continue de fonctions sinusoïdales.Analyse de Fourier d'une fonction périodique
ou non périodique "fenêtrée"
Transformée de Fourier réelle
Si f est une fonction réelle de
carré sommable, alors:
,
somme continue de fonctions sinusoïdales.
On peut aussi utiliser un développement
du type
.
On a:
et
donc
Spectre
- C’est le graphe
(ou
éventuellement
):
Calcul des coefficients de Fourier
- Les fonctions
et
se calculent par:
Développement complexe
- En utilisant les
expressions des fonctions trigonométriques en fonction des
exponentielles complexes, on peut aussi montrer que:
-
est la « transformée de Fourier » de g,
et elle se calcule par
- Inversement, on dit que g(t) est la
"transformation de Fourier inverse" de
.
- Lien entre développements réel
et complexe:
et
donc, pour
:
;
et pour
:
.
On a donc
.
On peut tracer un spectre avec des pulsations négatives, et il est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées:
Théorème de Parceval
- Le théorème de
Parceval-Plancheret dit que:
.
- Ce théorème peut être très utile en physique car l’énergie moyenne est souvent liée à la moyenne du carré d’une grandeur (vitesse pour l’énergie cinétique, élongation d’un ressort pour son énergie potentielle, etc...)
Fenêtrage de la fonction
- Dans la pratique, l'observation d'un signal se fait sur une durée finie (durée d'acquisition d'un appareil par exemple), une "fenêtre" d'observation en dehors de laquelle on considère que le signal est nul:
- Ainsi, une fonction périodique (par exemple sinusoïdale) observée à travers une "fenêtre" n'est plus périodique et son spectre n'est plus discret mais continu.
- L'effet du fenêtrage sur le spectre, dans le cas d'une fonction périodique, est de transformer les raies discrètes en pics, dont la largeur est de l'ordre de 1/largeur fenêtre:
lorsqu'on on "fenêtre" (fenêtre de largeur
)
une fonction périodique de fréquence
, le spectre obtenu est formé de pics centrés sur les
fréquences
(celles du spectre discret de la fonction périodique) et de
largeur
- Cas d'une impulsion: on vérifie que:
le spectre d'une impulsion unique de durée
présente un pic (centré sur 0) de largeur