Analyse de Fourier d'une fonction

fenêtrée et échantillonnée

L'opération d'échantillonnage

- Elle consiste à prélever la valeur du signal aux dates où est la période d'échantillonnage:

Spectre d'un signal sinusoïdal échantillonné

- On cherche le spectre du signal, spectre qui comporterait la seule fréquence f en analogique.

- On peut montrer que le spectre du signal échantillonné comporte les fréquences , , , , , , , etc...:

Soit encore en spectre de la transformée de Fourier complexe:

- Le spectre du signal échantillonné s'obtient donc par répétition/translation du spectre non échantillonné de :

Généralisation

- On admet que la procédure de répétition/translation est valide dans le cas général pour obtenir le spectre d'un signal échantillonné à partir du spectre du signal non échantillonné:

- On a donc un spectre périodique, de période . On a noté sur le schéma la fréquence maximale du spectre du signal non échantillonné.

le spectre d'un signal échantillonné à la fréquence s'obtient par répétition/translation de pas du spectral du même signal non échantillonné.

- Mathématiquement, on peut écrire que : est la transformée de Fourier du signal non échantillonné (en fréquence), celle du signal échantillonné.

Le problème du repliement du spectre - Théorème de Shannon

- Dans la situation du dernier schéma précédent, on peut donc récupérer le spectre complet du signal non échantillonné (avec un filtre passe-bas bien choisi), et donc reconstituer celui-ci par transformée de Fourier inverse: autrement dit, l'échantillonnage n'a pas fait perdre d'information sur le signal.

- Mais si , on voit que deux spectres successifs empiètent l'un sur l'autre, et le spectre du signal échantillonné ne permet pas de retrouver celui du signal non échantillonné:

Dans ce cas, l'échantillonnage a fait perdre irrémédiablement de l'information.

Théorème de Shannon (ou Shannon-Nyquist): pour pouvoir reconstituer un signal à partir du spectre de son signal échantillonné à la fréquence , il faut que cette fréquence d'échantillonnage soit supérieure au double de la fréquence maximale du spectre du signal non échantillonné.

- Pour certains signaux, il n'y a pas de fréquence maximale (signaux carrés, triangulaires, etc...) et le critère de Shannon ne peut pas être respecté rigoureusement; cependant, comme les amplitudes décroissent assez vite avec la fréquence, une fréquence d'échantillonnage suffisante permettra une reconstitution approchée.