Analyse de Fourier d'une fonction
fenêtrée et échantillonnée
L'opération d'échantillonnage
- Elle
consiste à prélever la valeur du signal aux dates
où
est la période d'échantillonnage:
Spectre d'un signal sinusoïdal échantillonné
- On cherche
le spectre du signal,
spectre qui comporterait la seule fréquence f en analogique.
- On peut
montrer que le spectre du signal échantillonné comporte
les fréquences
,
,
,
,
,
,
,
etc...:
Soit encore en spectre de la transformée de Fourier complexe:
- Le spectre
du signal échantillonné s'obtient donc par
répétition/translation du spectre non échantillonné
de
:
Généralisation
- On admet que la procédure de répétition/translation est valide dans le cas général pour obtenir le spectre d'un signal échantillonné à partir du spectre du signal non échantillonné:
- On a donc
un spectre périodique, de période
.
On a noté sur le schéma
la
fréquence maximale du spectre du signal non échantillonné.
le spectre d'un signal échantillonné à la
fréquence
s'obtient par répétition/translation de pas
du
spectral du même signal non échantillonné.
-
Mathématiquement, on peut écrire que
:
est la transformée de Fourier du signal non échantillonné
(en fréquence),
celle
du signal échantillonné.
Le problème du repliement du spectre - Théorème de Shannon
- Dans la situation du dernier schéma précédent, on peut donc récupérer le spectre complet du signal non échantillonné (avec un filtre passe-bas bien choisi), et donc reconstituer celui-ci par transformée de Fourier inverse: autrement dit, l'échantillonnage n'a pas fait perdre d'information sur le signal.
- Mais si
,
on voit que deux spectres successifs empiètent l'un sur
l'autre, et le spectre du signal échantillonné ne
permet pas de retrouver celui du signal non échantillonné:
Dans ce cas, l'échantillonnage a fait perdre irrémédiablement de l'information.
Théorème de Shannon (ou Shannon-Nyquist): pour pouvoir
reconstituer un signal à partir du spectre de son signal
échantillonné à la fréquence
,
il faut que cette fréquence d'échantillonnage
soit supérieure au double de la fréquence maximale
du spectre du signal non échantillonné.
- Pour certains signaux, il n'y a pas de fréquence maximale (signaux carrés, triangulaires, etc...) et le critère de Shannon ne peut pas être respecté rigoureusement; cependant, comme les amplitudes décroissent assez vite avec la fréquence, une fréquence d'échantillonnage suffisante permettra une reconstitution approchée.