Analyse de Fourier d'une fonction périodique


Théorème de Fourier


Si est une fonction réelle périodique « usuelle » (c’est à dire: nombre fini de discontinuités, de minimums et de maximums sur une période) de période T, de fréquence , de pulsation , alors peut se mettre sous la forme:

: c’est le développement en série de Fourier de g,


Ce développement peut encore s’écrire: avec: et donc .


g est donc une somme de fonctions sinusoïdales, de pulsations , de fréquences .


Le terme qui correspond à n=1 est appelé « fondamental », celui qui correspond à n>1 est « l’harmonique d’ordre n ».


Spectre


- C’est un graphe où l’on porte (ou éventuellement) en fonction de (ou de )




Calcul des coefficients de Fourier


- Les coefficients de Fourier sont donnés par:

Les intégrales peuvent être prises de to à to+T, to étant une date quelconque.


- Remarque: si est paire, est impaire et est nul. Inversement, si est impaire, est nul.



Développement complexe


- En utilisant les expressions des fonctions trigonométriques en fonction des exponentielles complexes, on peut aussi montrer que: avec:



- On peut montrer que pour (car ) :

et que . On a donc aussi: .



- On peut tracer un spectre avec des pulsations négatives, et il est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées:


Théorème de Parceval


- On a:


- Ce théorème peut être très utile en physique car l’énergie moyenne est souvent liée à la moyenne du carré d’une grandeur (vitesse pour l’énergie cinétique, élongation d’un ressort pour son énergie potentielle, etc...)