Analyse de Fourier d'une fonction périodique
Théorème de Fourier
Si
est une fonction réelle périodique « usuelle »
(c’est à dire: nombre fini de discontinuités, de
minimums et de maximums sur une période) de période T,
de fréquence
,
de pulsation
,
alors
peut se mettre sous la forme:
:
c’est le développement en série de Fourier de g,
Ce développement
peut encore s’écrire:
avec:
et
donc
.
g est donc une somme de
fonctions sinusoïdales, de pulsations
,
de fréquences
.
Le terme qui correspond à n=1 est appelé « fondamental », celui qui correspond à n>1 est « l’harmonique d’ordre n ».
Spectre
- C’est
un graphe où l’on porte
(ou éventuellement
)
en fonction de
(ou
de
)
Calcul des coefficients de Fourier
- Les coefficients de
Fourier sont donnés par:
Les intégrales peuvent être prises de to à to+T, to étant une date quelconque.
- Remarque: si
est paire,
est
impaire et
est nul. Inversement, si
est impaire,
est nul.
Développement complexe
- En utilisant les
expressions des fonctions trigonométriques en fonction des
exponentielles complexes, on peut aussi montrer que:
avec:
- On peut montrer que pour
(car
)
:
et
que
.
On a donc aussi:
.
- On peut tracer un spectre avec des pulsations négatives, et il est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées:
Théorème de Parceval
- On a:
- Ce théorème peut être très utile en physique car l’énergie moyenne est souvent liée à la moyenne du carré d’une grandeur (vitesse pour l’énergie cinétique, élongation d’un ressort pour son énergie potentielle, etc...)