Algorithme de calcul des indices de Sobol
But et définitions
Il s'agit de déterminer quelle part de variance de la sortie est due à telle entrée ou tel ensemble d’entrées.
L'indice de Sobol d'ordre 1
de la grandeur d'entrée
est
la quantité
où
est la variance de Y et
la
variance de l'espérance de Y pour
fixé,
qui sera d'autant plus grande que la grandeur
a
une grande influence sur la variance de Y.
L'indice de Sobol d'ordre
2 du couple
est
défini par
où
.
De la même façon, on peut définir des indices
d'ordre 3, 4,...
L'indice
de Sobol total
de
est
la somme des indices dans lequel intervient
.
Par exemple avec 3 grandeurs d'entrée,
Rappel: principe de la méthode de Monte Carlo ("MCM")
Pour chacune des grandeurs d'entrée, on génère un échantillon de M valeurs
On a donc des échantillons:
pour
:
(
,
,...,
)
pour
:
(
,
,...,
)
...
pour
:
(
,
,...,
)
On calcule alors les M valeurs de l'échantillon de sortie:
Détermination des indices de Sobol par Monte-Carlo
Avec un premier un jeu
d'échantillonnage, on a une matrice
.
On génère un
second jeu, de façon indépendante:
.
On bâtit alors la matrice E_i, obtenue en remplaçant dans A la iéme colonne par la ième colonne de B:
.
Notons
la
valeur de f pour la kième ligne de la matrice
.
On admet qu'un estimateur
de
est
alors
.
D'autre part ,
avec
.