Algorithme de calcul des indices de Sobol


But et définitions


Il s'agit de déterminer quelle part de variance de la sortie est due à telle entrée ou tel ensemble d’entrées.

L'indice de Sobol d'ordre 1 de la grandeur d'entrée est la quantité est la variance de Y et la variance de l'espérance de Y pour fixé, qui sera d'autant plus grande que la grandeur a une grande influence sur la variance de Y.


L'indice de Sobol d'ordre 2 du couple est défini par . De la même façon, on peut définir des indices d'ordre 3, 4,...


L'indice de Sobol total de est la somme des indices dans lequel intervient . Par exemple avec 3 grandeurs d'entrée,



Rappel: principe de la méthode de Monte Carlo ("MCM")


Pour chacune des grandeurs d'entrée, on génère un échantillon de M valeurs

On a donc des échantillons:

pour : ( , ,..., )

pour : ( , ,..., )

...

pour : ( , ,..., )


On calcule alors les M valeurs de l'échantillon de sortie:


Détermination des indices de Sobol par Monte-Carlo


Avec un premier un jeu d'échantillonnage, on a une matrice .

On génère un second jeu, de façon indépendante: .

On bâtit alors la matrice E_i, obtenue en remplaçant dans A la iéme colonne par la ième colonne de B:

.

Notons la valeur de f pour la kième ligne de la matrice .


On admet qu'un estimateur de est alors .


D'autre part , avec .